在考研数学的战场上，2025 年数学一试卷中，证明题再度强势回归，占据了极为关键的位置，成为众多考生的 “兵家必争之地”。这类题目不仅考查大家对数学知识的掌握程度，更着重检验考生的逻辑推理能力、思维的严谨性以及对数学方法的灵活运用。今天，就让我们一同深入剖析 2025 数学一证明题的 3 类解题模型，并梳理出规范的解题步骤，助力大家在考场上精准破题，取得好成绩。

　　证明题为何重回 C 位

　　近年来，考研数学的命题趋势愈发注重对考生综合素养与能力的考查。证明题作为数学学科逻辑性与抽象性的集中体现，能够有效区分不同层次的考生。它要求考生不仅要熟知各类数学定理、公式，更要明白其来龙去脉，能够将各个知识点串联起来，通过严密的逻辑推导得出结论。这与研究生阶段对学生独立思考、研究问题的能力要求高度契合。因此，证明题在数学一试卷中重回 C 位，成为考查的重点，也就不足为奇了。

　　3 类解题模型深度解析

　　模型一：基于中值定理的证明

　　中值定理，如罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，在数学一的证明题中频繁现身。当题目涉及到函数的导数与函数值之间的关系时，往往可以考虑运用中值定理来搭建解题的桥梁。

　　解题关键步骤：

　　第一步：对给定的函数进行细致分析，观察其是否满足中值定理的前提条件，如函数在某区间上的连续性与可导性。

　　第二步：根据题目所给信息，巧妙构造辅助函数。这一步堪称解题的 “神来之笔”，构造恰当的辅助函数能够让问题迎刃而解。辅助函数的构造通常需要结合已知条件与待证结论，通过对常见函数形式的变形、组合来实现。

　　第三步：验证所构造的辅助函数满足相应中值定理的条件，进而运用中值定理得出关键等式。

　　第四步：对中值定理得出的等式进行适当变形与推导，使其逐步向待证结论靠拢，直至完成证明。

　　例如，已知函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，要证明存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。此时，我们一眼便能看出函数\(f(x)\)满足罗尔定理的条件，直接应用罗尔定理即可轻松证明。但若题目条件稍作变化，如已知\(f(x)\)与\(g(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，\(g(a)\neq g(b)\)，要证明存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)，这时就需要我们巧妙构造辅助函数\(F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x)\)，然后验证\(F(x)\)满足柯西中值定理的条件，再运用柯西中值定理进行证明。

　　模型二：不等式证明模型

　　不等式证明在数学一证明题中也占据着相当的比重。此类问题通常需要我们灵活运用函数的单调性、极值、凹凸性等性质来加以解决。

　　解题关键步骤：

　　第一步：根据不等式的特点，精心构造函数。一般而言，可以将不等式的一边移至另一边，构造出一个新的函数\(f(x)\)。

　　第二步：对构造的函数\(f(x)\)求导，通过导数的正负来判断函数的单调性。若\(f'(x)>0\)，则函数\(f(x)\)在相应区间上单调递增;若\(f'(x)<0\)，则函数\(f(x)\)在相应区间上单调递减。

　　第三步：找到函数的极值点与最值点。这可以通过令\(f'(x)=0\)，求解方程得到驻点，再结合函数的单调性来判断这些驻点是否为极值点，进而确定函数在给定区间上的最值。

　　第四步：利用函数的单调性与最值来证明不等式。若要证明\(f(x)\geq g(x)\)，只需证明\(f(x)-g(x)\geq0\)，即证明函数\(h(x)=f(x)-g(x)\)的最小值大于等于 0;反之，若要证明\(f(x)\leq g(x)\)，则需证明\(h(x)\)的最大值小于等于 0.

　　比如，要证明当\(x>0\)时，\(x-\frac{x^3}{6}<\sin x0\)时，\(f''(x)>0\)，说明\(f'(x)\)单调递增，又\(f'(0)=0\)，所以\(f'(x)>0\)，进而\(f(x)\)单调递增，\(f(0)=0\)，所以\(f(x)>0\)，即\(\sin x>x-\frac{x^3}{6}\)。同理可证\(g(x)>0\)，即\(\sin x

　　模型三：数列极限证明模型

　　数列极限的证明题常常考查考生对数列极限定义的理解以及对相关定理的运用，如单调有界准则、夹逼准则等。

　　解题关键步骤：

　　第一步：若使用单调有界准则，首先要判断数列的单调性。可以通过作差法\(a_{n + 1}-a_n\)或作商法\(\frac{a_{n + 1}}{a_n}\)(当数列各项均为正数时)来判断数列的增减性。

　　第二步：接着证明数列有界。有上界可通过寻找一个常数\(M\)，使得\(a_n\leq M\)对所有\(n\)成立;有下界则寻找常数\(m\)，使得\(a_n\geq m\)。

　　第三步：若采用夹逼准则，需要根据数列的特点，巧妙地找到两个数列\(\{b_n\}\)和\(\{c_n\}\)，使得\(b_n\leq a_n\leq c_n\)，并且\(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow\infty}c_n = A\)，从而得出\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n = A\)。

　　例如，已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n + 1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{2}{a_n})\)，要证明数列\(\{a_n\}\)收敛，并求其极限。我们先通过作差法判断单调性：\(a_{n + 1}-a_n=\frac{1}{2}(\frac{2}{a_n}-a_n)=\frac{2 - a_n^2}{2a_n}\)。由均值不等式可得\(a_n=\frac{1}{2}(a_{n - 1}+\frac{2}{a_{n - 1}})\geq\sqrt{2}\)，所以\(a_{n + 1}-a_n\leq0\)，即数列单调递减。又因为\(a_n\geq\sqrt{2}\)，所以数列有下界。根据单调有界准则可知数列\(\{a_n\}\)收敛。设其极限为\(A\)，对\(a_{n + 1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{2}{a_n})\)两边同时取极限，可得\(A=\frac{1}{2}(A+\frac{2}{A})\)，解得\(A=\sqrt{2}\)。

　　步骤规范，为得分保驾护航

　　在解答数学一证明题时，规范的解题步骤至关重要。它不仅能够清晰地展现我们的解题思路，让阅卷老师一目了然，还有助于我们在考试中避免不必要的失分。

　　书写清晰，条理分明：解答过程应书写工整，将每一步的推导过程清晰地呈现出来。可以采用 “因为…… 所以……” 的句式，明确因果关系，使整个证明过程逻辑连贯。

　　依据明确，步步有据：每一步的推导都要有充分的依据，无论是运用定理、公式还是进行运算，都要在旁边注明所依据的内容。例如，“由拉格朗日中值定理可得……”“根据求导公式\((X^n)^\prime=nX^{n - 1}\)，对函数\(f(x)\)求导得……” 等。

　　结论明确，总结收尾：在完成所有的推导后，要明确写出最终的结论，如 “综上所述，原命题得证”，给整个证明过程画上一个圆满的句号。更多考研相关资讯请关注新东方考研网。