842-高等代数考试大纲

一、总体要求

要求考生全面系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，熟练掌握高等代数的基本思想和基本方法。要求学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

二、基本信息

考试形式为闭卷笔试，考试时间为3小时，总分为150分。

三、考试内容

（一）多项式

1. 一元多项式的带余除法及整除、最大公因式、互素多项式；

2. 因式分解及唯一性定理、重因式、复系数与实系数多项式的因式分解；

3. 多项式函数与多项式的根、有理系数多项式的有理根的求法、根与系数的关系及不可约的判定。

（二）行列式

1. 排列和行列式的概念与性质；

2. 行列式按一行（列）展开定理、Cramer法则、Laplace定理；

3. 运用行列式的性质及展开定理等计算行列式。

（三）线性方程组

1. Gauss消元法、n维向量空间；

2. 向量组的线性相关性、极大线性无关组与秩、矩阵的秩；

3. 线性方程组有解判别定理与解的结构。

（四）矩阵

1. 矩阵的运算、矩阵的分块、方阵的多项式；

2. 矩阵乘积的行列式与秩；

3. 逆矩阵、矩阵可逆的条件、伴随矩阵及其性质；

    4. 矩阵的初等变换、初等矩阵、运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。

（五）二次型

1. 二次型的概念及矩阵表示、矩阵的合同；

2. 二次型的标准形和规范形、惯性定理；

3. 正定二次型的概念及判定方法。

（六）线性空间

1. 线性空间、子空间的定义与性质，线性空间的同构；

2. 线性（子）空间的基、维数、向量关于基的坐标，基变换与坐标变换；

3. 子空间的基扩张定理，生成子空间，子空间的和与直和、维数公式。

（七）线性变换

1. 线性变换的定义、运算，线性变换的矩阵表示，矩阵的相似，同一个线性变换关于不同基的矩阵之间的关系；

2. 矩阵的特征多项式与最小多项式及其性质、线性变换及其矩阵的特征值与特征向量的概念和计算、Hamilton-Caylay定理；

3. 线性变换的不变子空间、核、值域的概念、关系及计算；

4. 矩阵可相似对角化的条件与方法、Jordan标准形。

（八） -矩阵

1.  -矩阵的初等变换、标准形， -矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子及三种因子之间的关系；

2.  -矩阵的等价与数字矩阵的相似；

3. 矩阵的Jordan标准形与有理标准形的计算方法。

（九）欧几里得空间

1. 内积与欧氏空间的定义与性质，向量的长度、夹角、距离，正交矩阵，欧氏空间的同构，正交子空间与正交补；

2. 欧氏空间的度量矩阵、标准正交基、线性无关向量组的Schmidt正交化方法；

3. 正交变换与正交矩阵的等价条件，对称变换的概念与性质；

4. 实对称矩阵的正交相似对角化的求法，最小二乘法。

四、试题结构

1、填空题

2、计算题

3、证明题

五、参考书目

《高等代数》第五版，北京大学数学系前代数小组编，高等教育出版社，2019。