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　　面对厚厚的高数教材和纷繁的习题，许多同学在期末复习时感到无从下手。高效备考的关键在于抓住重点章节，理解核心概念，掌握典型题型。盲目刷题不如有针对性地突破，以下梳理了几个普遍意义上的重点与难点，并辅以实例分析，希望能为你的复习规划提供清晰脉络。

　　一、 复习主线一：极限、连续与导数（基础与基石）

　　这部分是高等数学的基石，概念抽象但贯穿始终，必须牢固掌握。

　　核心要点：

　　极限计算：熟练掌握等价无穷小替换、洛必达法则、两个重要极限的应用场景与限制条件。

　　连续性与可导性判断：理解定义，能判断分段函数在分段点处的连续与可导情况。

　　例题讲解（极限与连续性综合）：

　　题目： 设函数 ?(?)={sin⁡???,?≠0?,?=0f(x)={xsinax​,b,​x=0x=0​ 在 ?=0x=0 处连续，求常数 ?,?a,b 的关系。

　　思路解析： 根据连续性定义，函数在一点连续需满足“函数值=极限值”。因此，需求出 lim⁡?→0?(?)limx→0​f(x)。利用 ?→0x→0 时 sin⁡??∼??sinax∼ax 这一等价无穷小关系，可得 lim⁡?→0sin⁡???=?limx→0​xsinax​=a。故由连续性，必须有 ?=?b=a。

　　复习提示： 此类题综合考查极限计算和连续性定义，是常见基础题型。

　　二、 复习主线二：微分中值定理及其应用（难点与核心）

　　这部分是微分学的理论核心，也是证明题和难题的聚集地。

　　核心要点：

　　三大中值定理(罗尔、拉格朗日、柯西)：理解其几何意义和相互关系，掌握构造辅助函数证明等式的基本思路。

　　导数应用：利用一阶导数判断单调性，利用二阶导数判断凹凸性，会求函数的极值、最值。

　　例题讲解（单调性与极值应用）：

　　题目： 求函数 ?(?)=?3−3?2−9?+5f(x)=x3−3x2−9x+5 在区间 [−2.4][−2.4] 上的单调区间与极值。

　　思路解析：

　　求一阶导数：?′(?)=3?2−6?−9=3(?+1)(?−3)f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)。

　　令 ?′(?)=0f′(x)=0.得驻点 ?1=−1.?2=3x1​=−1.x2​=3.

　　列表分析导数符号：在 (−2.−1)(−2.−1) 上 ?′(?)>0f′(x)>0.函数单增;在 (−1.3)(−1.3) 上 ?′(?)<0f′(x)<0.函数单减;在 (3.4)(3.4) 上 ?′(?)>0f′(x)>0.函数单增。

　　故极大值在 ?=−1x=−1 处取得，为 ?(−1)=10f(−1)=10;极小值在 ?=3x=3 处取得，为 ?(3)=−22f(3)=−22.

　　复习提示： 此类题目步骤固定，关键在于求导准确和区间划分清晰，是必须拿分的计算题。

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　　三、 复习主线三：积分学（计算与应用重点）

　　积分计算是期末考试的重头戏，题型多样，需大量练习保证熟练度。

　　核心要点：

　　不定积分：掌握凑微分法、换元法(特别是三角代换、根式代换)、分部积分法等核心方法。

　　定积分应用：会求平面图形的面积、旋转体的体积(绕x轴或y轴旋转)。

　　例题讲解（定积分几何应用）：

　　题目： 求由曲线 ?=?y=x​，直线 ?=?−2y=x−2 及 ?x 轴所围图形的面积。

　　思路解析：

　　画图定位：首先画出草图，确定图形范围。发现图形由两部分组成：一部分是 ?=?y=x​ 与 x 轴在 [0. ?] 上围成，另一部分是 ?=?y=x​ 与 ?=?−2y=x−2 相交后围成。

　　联立求交点：解方程组 {?=??=?−2{y=x​y=x−2​，得到交点 (4.2)。

　　面积计算：面积 ?=∫04? ??−∫24(?−2) ??S=∫04​x​dx−∫24​(x−2)dx。这里需注意，在[0.4]上，?=?y=x​ 是上边界，x轴是下边界;而在[2.4]上，需要减去直线 ?=?−2y=x−2 下方的面积(或理解成该部分图形由两条曲线围成，面积需用上减下)。

　　复习提示： “画图”是解决积分应用题的关键第一步，能避免积分区间和上下函数判断错误。

　　梳理重点、攻克典型题是复习的有效路径，但若基础薄弱或遇到自学难以突破的瓶颈，寻求专业指导往往能事半功倍。在新东方，我们关注大学生综合学业能力的提升，其中就包括对高等数学等公共基础课的辅导支持。

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