《数学分析》课程考试大纲

一、试卷满分及考试时间

 试卷满分150分，考试时间180分钟。

二、试题题型结构

计算题，证明题。

三、主要参考书

《数学分析》（上下册，第五版），高等教育出版社，2019年5月第五版，华东师范大学数学科学学院编。

四、试卷考查内容比例

    1. 实数集与函数，数列极限，函数极限，函数的连续性.（15%）

    2. 导数与微分，微分学基本定理与不定式极限，运用导数研究函数性质.（15%）

    3. 不定积分，定积分，定积分的应用.（15%）

    4. 数项级数，函数列与函数项级数，幂级数，付里叶级数.（15%）

    5  多元函数的极限与连续，多元函数的微分学.（15%）

    6．隐函数定理及其应用.（5%）

    7．重积分，含参量非正常积分.（10%）

    8．曲线积分与曲面积分.（10%）

五、考查内容

(一) 实数集与函数

（1）理解确界的概念，掌握确界原理。

（2）理解函数的概念，理解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性的概念。

 (二)数列极限 

（1）理解数列极限概念及收敛数列的性质，掌握数列极限存在的充要条件。

（2）掌握求数列极限的基本方法。

 (三)函数极限

（1）理解函数极限的概念及函数极限的性质，掌握函数极限存在的充要条件。

（2）掌握两个重要极限。

（2）掌握求函数极限的基本方法。

（3）理解无穷小量、无穷大量的概念。

(四) 函数的连续性

（1）理解函数连续性的概念。

（2）掌握连续函数的性质，反函数的连续性，理解一致连续性。

 (五) 导数与微分

（1）理解导数和微分的概念。

（2）掌握导数和微分的运算法则。

（3）了解微分在近似计算中的应用。

（4）理解高阶导数的概念。

(六)微分中值定理及其应用

（1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒公式。

（2）掌握洛必达法则。

（3）掌握用导数判断函数的极值、最值、单调性、凹凸形、拐点、渐近线的方法。

（4）会描绘简单函数的图形。

(七)实数完备性定理

（1）掌握实数完备性定理，能较好地运用完备性定理解决有关问题。

（2）理解上极限、下极限概念。

(八)不定积分

（1）理解不定积分的概念，掌握不定积分的性质。

（2）掌握不定积分的计算方法。

(九)定积分

（1）理解定积分的概念，掌握定积分的性质，理解可积条件。

（2）理解微积分基本定理，掌握定积分的计算方法。

(十)定积分的应用

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积及侧面积，变力作功，重心等。

（十一）反常积分

（1）掌握反常积分概念。

（2）掌握两类反常积分的性质及收敛判别方法。

(十二)数项级数

（1）理解数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念。

（2）掌握正项级数敛散判别法。

（3）掌握交错级数的莱布尼兹判别法，了解任意项级数绝对收敛和条件收敛的概念。

(十三)函数列与函数项级数

（1）理解函数列和函数项级数的一致收敛性的概念。

（2）掌握一致收敛性的判别方法。

（3）掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质。

(十四)幂级数

（1）掌握幂级数的收敛区间，理解幂级数的基本性质。

（2）掌握 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。

(十五)傅里叶级数

（1）理解傅里叶级数的概念，掌握付里叶级数的收敛定理。

（2）理解周期函数的傅里叶级数，偶函数和奇函数的傅里叶级数。

(十六)多元函数的极限与连续

（1）理解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

（2）了解重极限与累次极限之间的关系。

(十七)多元函数的微分学

（1）理解多元函数偏导数和全微分的概念，掌握偏导数和全微分的计算，掌握全微分存在的必要条件和充分条件。

（2）理解方向导数与梯度的概念。

（3）掌握二元函数的泰勒公式。

（4）掌握二元函数的极值、最值得计算。

(十八)隐函数定理及其应用

（1）理解隐函数，隐函数组，反函数组存在定理，会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。

（2）理解多元函数条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。

(十九)重积分

（1）理解二重积分、三重积分的概念。

（2）掌握二重积分(直角坐标，极坐标)的计算方法。

（3）掌握三重积分(直角坐标，极坐标，球面坐标)的计算方法。

（4）会用重积分解决一些实际应用问题。

(二十)含参量非正常积分

（1）掌握含参量非正常积分的一致收敛概念及判别法。

（2）掌握含参量非正常积分的性质。

（3）了解欧拉积分。

(二十一)曲线积分与曲面积分

（1）理解两类曲线积分和两类曲面积分的概念，了解它们的性质及两类曲线积分的关系,两类曲面积分的关系。

（2）掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，掌握格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，了解散度与旋度的概念。

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