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“微积分是考研数学的定海神针，也是最容易拉开差距的主战场。”——只要抓住十年真题反复出现的 10 类大题套路，你就能把 70% 的复习时间精准投入到高频核心考点。下文把题型、解法、易错点一次讲透，助你考场秒解。
一、十年真题大数据：10 类大题权重排行榜
1.  极限与连续（出现率 100%）
常考：0/0、∞/∞、1^∞ 型极限 + 分段函数连续性判定。
2.  导数定义与几何应用（出现率 95%）
经典：利用定义求 f'(0) 或切线/法线方程。
3.  中值定理综合（出现率 90%）
高频：拉格朗日+柯西双定理联立证明不等式。
4.  函数极值与最值（出现率 88%）
套路：求导→列表→端点+驻点比较。
5.  不定积分与换元法（出现率 85%）
难点：三角换元、倒代换的选择。
6.  定积分几何意义（出现率 83%）
题型：旋转体体积、弧长、面积三联动。
7.  微分方程（出现率 80%）
重点：一阶线性+伯努利方程实际建模。
8.  多元函数极值（出现率 75%）
标志：拉格朗日乘数法求条件极值。
9.  重积分与坐标变换（出现率 70%）
关键：极坐标、柱坐标、球坐标“三坐标”切换。
10.  级数敛散性（出现率 65%）
必背：正项级数比较、交错级数莱布尼茨判据。
二、逐题精讲：模板+易错点+考场秒解
【例 1】极限与连续
真题：求 lim(x→0) (e^x - 1 - x) / x^2
模板：泰勒展开 e^x = 1 + x + x²/2 + o(x²) → 极限 = 1/2
易错：忘记写 o(x²) 符号导致步骤不全扣分。
【例 2】中值定理综合
真题：证明 ln(1+x) < x (x>0)
秒解：令 f(t)=ln(1+t)-t，f(0)=0，f’(t)=-t/(1+t)<0 → 单调递减 → f(x)<0。
易错：区间端点未验证，直接丢 2 分。
【例 3】旋转体体积
真题：y=sin x, x∈[0,π] 绕 x 轴旋转
模板：V=π∫sin²x dx = π∫(1-cos2x)/2 dx = π²/2
易错：忘记 π 系数或积分限写错。
【例 4】拉格朗日乘数法
真题：求 z=x+y 在 x²+y²=1 下的极值
秒解：设 F=x+y+λ(1-x²-y²) → 解得 λ=±√2/2 → 极值 ±√2
易错：漏写约束方程或 λ 符号。
总结
10 类大题覆盖微积分 70% 分值，掌握“模板-易错-秒解”三板斧，即可把复杂运算压缩到 3-5 行书写。每天 1 题滚动训练，考场遇到同类题型可直接套用，省时又稳分。

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